Нерешенные задачи школьной математики
Математик Алексей Савватеев о задаче Эрдеша, хроматическом числе плоскости и пифагоровой комнате
Школьная математика: плюс, минус, умножить, разделить, взять квадратный корень и решить квадратное уравнение ax2+bx+c=0. Сто раз выписать формулу. Сдать ЕГЭ и так далее. На самом деле все не так. Школьная математика — это очень красиво. Если ее преподавать с умом, то больше народу ею увлечется. Если бы в школе проходили нерешенные проблемы школьной математики, то количество желающих поступить на математические специальности только росло.
В этой лекции я расскажу, какие школьные проблемы остаются открытыми. Например, самая простая проблема. Рассмотрим доску, на которой висят магнитные примочки, которые нельзя снять с доски; на них часто вешают напоминалки. Задача — расставить это количество магнитных точек в такую конфигурацию, чтобы большинство отрезков, соединяющих их, оказались равной длины — задача Эрдеша о равных расстояниях. Это популярная нерешенная проблема математики начального уровня. Вопрос в том, сколько фишек тебе дадут. Если дадут 3 фишки, ты скажешь: «Вот вершины равностороннего треугольника, и все 3 отрезка между этими 3 точками оказываются одинаковыми». Если дадут 4 точки, то вершин будет 4, а отрезков — 6. Из них можно сделать ромб, собранный из двух равносторонних треугольников, но только 5 отрезков будут одинаковой длины, а 6-й будет длиннее: будет длинная диагональ соответствующего ромба. При 5, 6, 7 и так далее, до 30 точек, ответ все еще известен точно. Например, есть красивая конфигурация из 9 точек. Для начала стоит посчитать количество отрезков. Из каждой точки идет 8 отрезков, а точек 9. Просто умножим 9 на 8 и получим 72. Но все не так просто. Таким образом мы каждый отрезок посчитали дважды, когда запускали его из первой и последней точки, поэтому 72 делим на 2. Из этих 36 отрезков на плоскости можно уравнять между собой половину. Это красивейшая конфигурация. Но для 35, 40 точек и более неизвестно ничего. Для алгоритмической теории это важная задача.
Задачи о расстановке важны, потому что используются в алгоритмах. Вы пишете алгоритмы поиска на графах: интернет, пользователи и связи между ними. Это все похоже на задачу, которую мы решаем. Алгоритмы состоят из комбинаторных задач. Если вы умеете решать такие задачи, то вы сможете писать алгоритмы. Математику это важно потому, что алгоритмы помогают в доказательствах к другим задачам. Но наша проблема в том, что мы не знаем даже асимптотики. С ростом числа n точек, которые нам даны, мы не знаем, как ведет себя функция максимально возможного количества равных друг другу по длине отрезков при правильной расстановке точек. Зазор в незнании безумный, просто оскорбительный для всей математики человечества.
Рассмотрим еще одну задачку, которая тоже не решена до сих пор, — задача о хроматическом числе плоскости. Нам дано некоторое количество цветов. Представим, что нас поймал инопланетянин и говорит: «Сейчас ты будешь красить у меня плоскость, а если не сможешь покрасить с соблюдением моего условия, то я тебя убью». Условие такое: дается несколько красок, и необходимо раскрасить плоскость таким образом, чтобы никакие две точки на фиксированном расстоянии не оказались одного цвета. Представим, что инопланетянин берет свою маленькую волшебную палочку и начинает крутить ее по этой плоскости. Если хоть раз она встанет в положение, в котором у нее вершины одноцветные, то он убьет тебя. Инопланетянин продает краски, и каждая краска стоит 5 лет твоей жизни. Необходимо купить как можно меньше красок, чтобы выжить, но если не соблюсти условие с одноцветными вершинами, то твоя жизнь закончится сразу. Нужно понять, сколько красок купить. До 7 апреля 2018 года зазор в этой задаче был от четырех до семи красок. Человечество знало, что семи красок достаточно, значит, 35 годами своей жизни ты откупишься от инопланетянина. Также было известно, что трех красок недостаточно, то есть 15 лет не хватит. Это все простые картинки на плоскости. Можно найти в интернете «задача о хроматическом числе плоскости», чтобы понять, почему трех красок недостаточно, а семи достаточно. Раньше мы не знали про это итоговое количество красок, но 7 апреля известный геронтолог Обри ди Грей в возрасте 55 лет школьным методом сумел доказать, что четырех цветов не хватит, поэтому 25 лет минимум придется пожертвовать. Но дальше про пять, шесть или семь красок неизвестно.
Много нерешенных задач связано с простыми числами. Например, 6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 5+5, 24 = 11+13. Я каждое четное число представляю в виде суммы двух простых: 100 = 47+53, например. Если вы включите компьютер, вы увидите, что каждое четное число, которое у вас появляется, является суммой двух простых. Но неизвестно, можно ли это отнести ко всем четным числам — это проблема Гольдбаха. В ней далеко продвинулся наш соотечественник Иван Матвеевич Виноградов, который доказал, что любое нечетное число большого размера — это сумма трех простых. Либо оно само простое, либо его можно представить как сумму трех простых чисел. Отсюда остается один шаг до того, что любое четное — это сумма двух. И этот шаг уже полвека висит без прогресса.
Другая нерешенная задача связана с распределением простых чисел. Иногда вы видите, что между двумя соседними простыми огромный промежуток чисел. Если включить там датчик простых чисел в районе миллиарда, там будет разрыв то через 50 шагов, то через 10, то вообще через 2. Подряд они идти не могут, одно из них четное и будет делиться на 2, поэтому минимальное расстояние между соседними простыми — 2. В районе миллиарда с завидной регулярностью выпадают два простых числа, отличающихся всего на двоечку. Залезли в миллиард миллиардов, где восемнадцатизначные числа, но даже здесь простые попадаются на расстоянии 2. Смотрим еще через две тысячи чисел — два простых идут через одно. Евклид говорил, что таких пар бесконечное количество. Со времен Евклида никакого продвижения не было сделано. Это старинная проблема математики. Единственное, что есть, — прорыв Джанго. Китайский ученый Итан Джанг, работающий в Америке, в 2013 году доказал, что к конечной величине расстояния между соседними простыми будут бесконечное количество раз возвращаться. Даже когда расстояния будут длиной со Вселенную, они будут повторяться через заданный промежуток. На сегодня этот промежуток — 246. Существует бесконечное количество пар соседних простых на расстоянии не более чем 246. Но до двойки еще далеко. О простых числах есть теорема Адамара и Валле Пуссена о том, что простые все реже и реже встречаются и их плотность стремится к нулю. Если заглянуть далеко в натуральный ряд, то простые числа будут редко встречаться.
В математике существует пифагорова комната, в которой хранятся все нерешенные проблемы. Это такая сказка. На самом деле пифагорова комната — это другое. Пифагорова тройка — прямоугольный треугольник с целыми сторонами, это три числа: a, b и c, где a2+b2=c2. Это прямоугольник, у которого обе стороны и диагональ целые. Посмотрим на комнату, на прямоугольный параллелепипед. У него есть длина, ширина и высота. У него есть три стороны, у каждой из которых своя диагональ. Еще у него есть длинная диагональ, которая бьет из нижнего угла в верхний. Известны комнаты, в которых все три измерения целые и все три диагонали целые, но главная диагональ уже не целая. Мы не знаем ни одного случая, когда все семь чисел целые, но и доказательства того, что этого не может быть, нет. Это и есть пифагорова комната. Согласно математическим преданиям, в ней содержатся все доказательства всех теорем, но так как мы пока не знаем, существует ли она, то и доказательства теорем тоже ждут своих героев.
Более подробно в первоисточнике: https://postnauka.ru/courses/28275